Решить в целых числах уравнение 1! +2! +3! +4! ++х! =у^2

я буду рассуждать следующим образом:

1. корни, которые видно сразу:

x=0, y=1 (т.к. 0! =1 по определению факториала)

x=0, y=-1

x=1, y=1

x=1, y=-1

факториала из отрицательного числа не существует, следовательно, все x > =0.

2. других корней нет, так как и левая, и правая части возрастают

рассмотрим f(x)=x! и g(x)=y^2

g(x) - это парабола, наклоненная на 90 градусов, т.е. ветви направлены вправо.

f(x)=x! ~x^x*ln(x) по ф-ле стирлинга, т.е. возрастает быстрее любой степенной функции, т.е. заведомо быстрее чем y^2. это можно доказать, рассмотрев производные этих функций, либо просто на графике показать. следовательно, точек пересечения графики этих функций кроме вышеназванных не имеют.

функция же f1(x)=1! +2! ++x! возрастает ещё быстрее, чем x! , следовательно, других корней у этого уравнения нет. 

пусть скорость пешехода-х,тогда велосепидиста х+9.из условия:

18: х-1,8=18*(х+9)

10: х-1=10: (х+9)

10(х+9)-х(х+9)=10х

90-х*х-9х=0

x^2+9x-90=0

d=81+360=441

x=(-9+-21)/2

x> 0=> x=6км: ч-скорость пешехода

6+9=15км: ч-скорость велосепедиста

5χ+3χ=180

8χ=180

χ=180: 8

x=22.5

5·22.5=112.5

3·22.5=67.5

boc=112.5°  abc=67.5°