В треугольнике ABC с прямым углом С проведена высота CD. Известно, что АС < ВС. Докажите, что AD < BD....
На высоте равнобедренного треугольника ABC, проведённой к основанию АС, отмечена точка Р, а на сторонах АВ и ВС отмечены точки М и N...
Даны три прямые, каждая из которых пересекает хотя бы одну другую. Сколько точек пересечения могут иметь эти прямые? Для каждого возможного...
Во внутренней области прямого угла АОВ проведён луч ОС. Найдите угол между биссектрисами углов АОС и ВОС....
Продолжения равных хорд АВ и CD окружности за точки В и С пересекаются в точке Е. Докажите, что треугольник EAD равнобедренный....
Прямая касается каждой из двух окружностей в точке А, а другая прямая касается этих окружностей в точках В и С. Докажите, что точка А лежит...
Хорда АВ окружности продолжена за точку В на отрезок ВС, равный радиусу окружности. Через точку С и центр О окружности проведена секущая;...
Может ли сторона треугольника быть вдвое меньше другой стороны и вдвое болыпе третьей стороны? Ответ обоснуйте....
Лучи ОС и OD расположены во внутренней области угла АОВ. Известно, что ∠AOC = ∠BOD. Докажите, что биссектрисы углов АОВ и COD совпадают....
Точка О лежит на катете АС треугольника ABC с прямым углом С. Окружность с центром О и радиусом ОА пересекает гипотенузу АВ в точке К....
Две окружности пересекаются в точках А и В; отрезки AM и AN — диаметры этих окружностей. Докажите, что точки М, N и В лежат на одной прямой....
Две равные окружности пересекаются в точках А и В. Прямая, проходящая через точку А, пересекает одну окружность в точке С, а другую...
Дуга АВ окружности с радиусом 10 см равна 120°. Найдите расстояние от центра окружности до прямой АВ....
Две стороны треугольника равны 1 см и 5 см, а третья сторона также равна целому числу сантиметров. Найдите третью сторону....
В треугольнике ABC угол В тупой. На продолжении стороны АВ за точку В отмечена точка D. Может ли выполняться неравенство CD < СВ?...
Катеты прямоугольных треугольников ABC и А1В1С1 удовлетворяют неравенствам АС < А1С1 и ВС < В1С1. Докажите, что АВ < А1В1....
Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника разделяет его на два треугольника, один из которых равнобедренный. Найдите углы...
Внешний угол при вершине С прямоугольного треугольника ABC равен 150°. Разность гипотенузы и катета АВ равна 4 см. Найдите катет АВ....
На равных сторонах АС и ВС треугольника ABC отмечены точки А1 и В1 так, что СА1 = СВ1. Докажите, что ∠AB1B = ∠BA1A....
По одну сторону от прямой АВ отмечены две точки С и D. Могут ли при этом одновременно выполняться равенства ∠CAB = ∠DAB...
Равные отрезки АВ и CD, не лежащие на одной прямой, пересекаются в точке О. Известно, что АО = СО. Докажите, что ∠OAD = ∠OCB....
Через вершины А и С треугольника ABC проведены прямые, перпендикулярные к биссектрисе угла ABC. Они пересекают лучи ВС и В А...
Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла с вершиной А, пересекает стороны угла в точках В и С. Докажите, что биссектриса делит отрезок ВС...
Точка С лежит на отрезке АВ, длина которого равна 8 см. Найдите отрезки АС и ВС, если отрезок АС на 2 см больше отрезка ВС....
Могут ли биссектриса и высота треугольника, проведённые из одной вершины, быть взаимно перпендикулярными? Ответ обоснуйте....
Могут ли углы АОВ и COD быть неравными, если АО _I_ СО и ВО _I_ DO? Если могут, то изобразите такие углы....
Точка М лежит на биссектрисе угла АОВ, а точка С лежит внутри угла, вертикального по отношению к углу АОВ. Найдите угол СОМ, если ∠AOC...
Луч делит прямой угол на два угла, один из которых в два раза больше другого. Найдите образовавшиеся углы....
Точка С лежит на прямой АВ, но вне отрезка АВ. Чему равно расстояние от точки С до середины отрезка АВ, если АС = 17 см и ВС = 3 см?...
В треугольнике АВС угол а в 4 раза меньше угла В а угол С на 90 градусов меньше угла В. а)найти углы треугольника АВС, б) Сравнить стороны АВ и ВС. Помогите плиз, срочно надо....
Точка О — середина стороны АВ равностороннего треугольника ABC. Окружность с центром О и радиусом ОА пересекает стороны АС и...
Отметьте точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Проведите прямую через каждую пару точек и отметьте точку Y, которая расположена во...
Могут ли три полуплоскости не иметь ни одной общей точки? Если могут, то изобразите такие полуплоскости....
На сторонах АВ и АС треугольника ABC отмечены соответственно точки М и N, причём AM = MN = BN. Найдите угол CNB, если ∠A = а....
Прямая касается двух окружностей в точке А. На этой прямой отмечена точка М и через неё проведены касательные MB и МС к этим...
В треугольнике одна сторона на 1 см меньше другой и на 3 см больше третьей. Может ли его периметр быть равен 10 см? Ответ обоснуйте....
Даны две точки А и В. С помощью одного циркуля (без линейки) постройте точку С так, чтобы точка В была серединой отрезка АС....
Даны окружность и две точки внутри её. Постройте прямоугольный треугольник, вершины которого лежат на данной окружности, а катеты...
Катеты АС и А1С1 прямоугольных треугольников ABC и А1В1С1 равны, а другие катеты удовлетворяют неравенству ВС < В1С1....
Точки С и D лежат на отрезке АВ. Известно, что АС = BD. Докажите, что середины отрезков АВ и CD совпадают....
Расстояние между серединами двух перпендикулярных хорд окружности равно 10 см. Найдите расстояние от центра окружности до точки...
Продолжения равных хорд АВ и CD окружности за точки В и С пересекаются в точке М. Докажите, что треугольник МВС равнобедренный....
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Известно, что BD = AD = АС. Найдите углы треугольника ABC....
Точка М лежит на биссектрисе угла АОВ, а точка С лежит внутри угла, смежного с углом АОВ. Найдите угол СОМ, если ∠AOC = 10°, ∠BOC = 130°....
Внешний угол при вершине А прямоугольного треугольника ABC равен 120°. Сумма гипотенузы и катета АВ равна 9 см. Найдите катет АВ....
Дуга АВ окружности равна 90°, хорда АВ равна 10 см. Найдите расстояние от центра окружности до прямой АВ....
Равные отрезки АВ и CD, не лежащие на одной прямой, пересекаются в точке О. Известно, что АО = СО. Докажите, что AD = ВС....
В треугольнике ABC угол В острый. На продолжении стороны АВ за точку В отмечена точка D. Может ли выполняться неравенство CD < СВ? Ответ обоснуйте....
Могут ли медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины, быть взаимно перпендикулярными? Ответ обоснуйте....
На сторонах АВ и АС равностороннего треугольника ABC отмечены точки Р и Q так, что АР : РВ = 2:1 и AQ : QC =1:2. Докажите, что прямые АС и...
По одну сторону от прямой АВ отмечены две точки С и D. Могут ли одновременно выполняться равенства АС = AD и ВС = BD...
Через вершины А и С треугольника ABC проведены прямые, перпендикулярные к биссектрисе угла ABC. Они пересекают лучи ВС и В А в точках D...
На равных сторонах АС и ВС треугольника ABC отмечены соответственно точки А1 и В1 так, что СА1 = СВ1. Докажите, что АВ1 = ВА1....
В треугольнике ABC сторона АС наибольшая, а сторона ВС наименьшая. Может ли выполняться неравенство АВ > 2ВС? При утвердительном...
Даны две точки А и В. С помощью одного циркуля (без линейки) постройте концы какого-нибудь отрезка, перпендикулярного к прямой АВ....
Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла с вершиной А, пересекает стороны угла в точках В и С. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный....
Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 40°....
Каждая из двух взаимно перпендикулярных хорд окружности с центром О делится их точкой пересечения на отрезки, равные а и b,...
На прямой отмечены пять точек. Сколько лучей с началами в отмеченных точках расположено на этой прямой?...
Одна из двух взаимно перпендикулярных хорд окружности делится второй хордой пополам. Докажите, что вторая хорда является диаметром....
Отметьте точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Проведите прямую через каждую пару точек и отметьте точку X, которая расположена...
Точка С лежит на отрезке АВ; точки Р и Q — середины отрезков АВ и ВС. Найдите отрезок АС, если отрезок PQ равен 4 см....
Точка С лежит на отрезке АВ, длина которого равна 11 см. Найдите отрезки АС и ВС, если отрезок АС на 3 см меньше отрезка ВС....
Высота треугольника разделяет его на два треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот треугольник равнобедренный....
Окружность, диаметром которой служит биссектриса AD треугольника ABC, пересекает прямые АВ и АС в точках Р и Q, отличных от А. Докажите, что DP = DQ....
Две пересекающиеся прямые образуют четыре неразвёрнутых угла. Найдите эти углы, если сумма двух из них равна 220°....
Из точки М, расположенной во внутренней области острого угла с вершиной А, проведены перпендикуляры МР и MQ к сторонам угла...
Внутри угла с вершиной А дана точка О. Постройте прямую, которая проходит через точку О и пересекает стороны данного угла в таких...
Окружность, диаметром которой служит одна из сторон треугольника, проходит через середину другой стороны. Докажите, что этот треугольник равнобедренный....
Луч делит развёрнутый угол на два угла, один из которых в два раза больше другого. Найдите образовавшиеся углы....
Точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ. Известно, что АС = СВ и AD = DB. Докажите, что прямые АВ и CD перпендикулярны....
Стороны угла в 30° касаются окружности. Найдите величины двух дуг окружности, концами которых являются точки касания....
На продолжении стороны АВ треугольника ABC за точку В отложен отрезок BD, равный ВС. Выразите угол ADC через угол ABC....
Угол С прямоугольного треугольника ABC равен 30°. Разность длин гипотенузы и катета АВ равна 5 см. Найдите гипотенузу....
Из точки М, расположенной внутри острого угла с вершиной А, проведены перпендикуляры МР и MQ к сторонам угла. Докажите, что ∠APQ = ∠AMQ....
На биссектрисе AD треугольника ABC отмечена точка Р. Известно, что ∠BPD = ∠CPD. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный....
Точка С лежит на отрезке АВ длина которого равна 8 см. Найдите длины отрезков АС и ВС, если длина отрезка АС в три раза меньше длины отрезка ВС....
На стороне АВ треугольника ABC с прямым углом С отмечена точка К так, что KB = КС. Докажите, что отрезок СК — медиана треугольника ABC....
Из вершины угла проведён луч, расположенный во внутренней области угла. Может ли этот луч быть перпендикулярен к биссектрисе угла? Ответ обоснуйте....
Точка М лежит на биссектрисе угла АОВ. Найдите угол СОМ, если ∠AOC = 50°, ∠BOC = 30° и точка С лежит внутри угла АОВ....
На серединном перпендикуляре к отрезку АВ отмечена точка М так, что AM = 3АВ. Периметр треугольника АВМ равен 28 см....
Точки А и В лежат в разных полуплоскостях с границей а, точки В и С также лежат в разных полуплоскостях с границей а. В одной или...
На основании АС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки D и Е так, что ∠ABD = ∠CBE. Докажите, что треугольник DBE равнобедренный...
В треугольнике ABC проведена медиана AM и на луче AM отмечена точка D, отличная от точки А, так, что DM = AM. Докажите, что CD = АВ....
Даны точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Проведите через точку А прямую так, чтобы точки В и С лежали по разные стороны от этой...
Точки В и С лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра к отрезку АВ. Сравните длины отрезков АС и ВС....
