В треугольнике ABC угол С прямой. Угол А равен 30°. АВ = 8, CD перпендикулярен АВ. Найдите AD и DB....
В треугольнике ABC угол С прямой. Катет АС равен половине гипотенузы. Докажите, что угол В равен 30°....
Могут ли пересечься биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей?...
В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°. Докажите, что в этом треугольнике отрезок серединного перпендикуляра, проведённого к гипотенузе до пересечения...
На каждой стороне правильного треугольника взято по точке. Стороны треугольника с вершинами в этих точках перпендикулярны сторонам исходного треугольника....
Известно, что при пересечении прямых а и b третьей прямой образовалось восемь углов. Четыре из них равны по 80°, а четыре других — по 100°. Следует ли из этого, что прямые а и b па...
Две параллельные прямые пересечены третьей прямой. Найдите угол между продолжениями биссектрис внешних односторонних углов....
Углы А и В треугольника AВС равны а и b. Какой угол образует биссектриса угла С со стороной АВ? Какой угол образует высота, опущенная на ВС, со стороной АС?...
Найдите угол между биссектрисами внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей....
Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 62°; б) 90°; в) 100°; г) 80°....
Высота и медиана, проведённые из одной вершины, делят угол треугольника на три равные части. Найдите углы треугольника....
Какие значения может принимать: а) наибольший угол треугольника; б) наименьший угол треугольника; в) средний по величине угол треугольника?...
На плоскости изображено несколько многоугольников, сумма всех углов которых равна 720°. Сколько и какие многоугольники изображены, если среди них нет пятиугольника?...
Точка М внутри угла ВАС (рис. 204). Прямая МР параллельна лучу АС, прямая МК параллельна лучу АВ, угол АРК равен 40°, угол МКС равен 50°. Найдите углы треугольника РКМ....
Прямые тип параллельны,p — секущая, 1 = 110° (рис. 200). Найдите градусную меру углов 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8....
В треугольной пирамиде ABCD имеют место равенства АВ= CD, AD = ВС. Докажите, что прямая, проходящая через середины А С и BD, перпендикулярна АС и BD....
На рисунке 208 угол ABC равен 100°, точка М лежит внутри утла ABC. Лучи РМ и ВС параллельны. Лучи КМ и ВА параллельны, угол МРК равен 30°. Найдите углы треугольника МРК....
Докажите, что прямая, проходящая через середины боковых сторон равнобедренного треугольника параллельна основанию....
Дан треугольник ABC с прямым углом А (рис. 209). KD параллельна СВ, угол DAB равен 37°. Найдите углы С и В....
На рисунке 207 прямые l и MN Пересекаются в точке А, а прямые / и PQ пересекаются в точке В, MN \\ PQ. АВ равно 10, ВС — биссектриса угла РВА. Найдите АС....
р — секущая при непараллельных прямых т и п. Углы 1 и 2 внутренние односторонние (рис. 206). Докажите, что сумма углов 1 и 2 не равна 180°....
Обозначим стороны треугольника ABC как обычно АВ = с, ВС = а, СА = b, 2р = а + b + с — периметр треугольника (p — полупериметр). Докажите, что существуют три попарно...
При пересечении двух параллельных прямых секущей образовалось восемь углов. Сумма семи из них равна 700°. Чему равны эти углы?...
Две параллельные прямые l, и l2 пересечены другой парой параллельных прямых l3 и l4. Точки их пересечения А и D лежат на l1, точки В и С — на l2, А и В — на l3, С и D...
Прямая l параллельна стороне МР треугольника MNP. Докажите, что прямая MN пересекается с прямой l....
Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых l, и l2. Через середину этого отрезка (точка М) проведена прямая, пересекающая l, и l2 в точках С и D соответственно....
В вершинах четырёхугольника ABCD расположены центры окружностей. Известно, что любые две окружности с центрами в соседних вершинах касаются друг друга внешним...
р — секушая при непараллельных прямых т и п. Углы l и 2 накрест лежащие (рис. 205). Докажите, что угол l не равен углу 2....
Докажите, что расстояние от каждой точки одной из двух параллельных прямых до второй прямой постоянно (не зависит от точки)....
При пересечении двух параллельных прямых двумя другими параллельными прямыми получился четырёхугольник A BCD. Докажите, что противоположные углы этого четырёхугольника равны....
Через точку М, лежащую вне прямой /, проведены три прямые т,п, к. Сколько из этих прямых могут пересекать прямую l?...
Внутри некоторого многоугольника содержится выпуклый многоугольник. Докажите, что периметр внутреннего многоугольника меньше периметра внешнего многоугольника....
Докажите, что если в треугольнике ABC сторона АВ в два раза больше стороны АС, то медиана, выходящая из вершины С, перпендикулярна биссектрисе угла А....
Стороны четырёхугольника ABCD касаются одной окружности. (Точки касания — на сторонах четырёхугольника.) Докажите, что АВ + CD = ВС + DA....
Докажите, что если прямые АВ, ВС и СА касаются одной окружности с центром вне треугольника ABC, но внутри угла ВАС, то отрезки касательных от вершин А, В и С до точек...
Пусть углы треугольника ABC равны ABAC = 40°, CBA = 60°, ACB = 80°. Пусть, далее, О — точка плоскости треугольника такая, что АО = ВО = СО. Докажите, что АОВС...
Докажите, что если прямые АВ, ВС и АС касаются одной окружности с центром внутри треугольника ABC, то отрезки касательных от вершин А, В и С до точек...
От данного многоугольника с помощью одного прямолинейного разреза отрезали некоторый многоугольник. Докажите, что периметр отрезанного многоугольника меньше...
Две стороны четырёхугольника равны 1 и 4. Одна из диагоналей равна 2 и делит четырёхугольник на два равнобедренных треугольника. Найдите периметр четырёхугольника....
Докажите, что существуют три попарно касающиеся друг друга окружности с центрами в вершинах треугольника ABC такие, что окружности с центрами В и С...
Через одну точку плоскости проведены три прямые, разбивающие плоскость на шесть углов. Известно, что средний по величине угол равен среднему арифметическому...
На прямой расположены точки А, В, С и D так, что АВ — 3, ВС = 1, CD = 2, AD = 6. На каком расстоянии от А может находиться такая точка М этой же прямой, для которой AM: MD = ВМ: МС...
Внутри отрезка АС расположена точка В. Известно, что АВ = 1,2. Отрезки АС и ВС являются диаметрами окружностей. Найдите расстояние между центрами этих окружностей....
Докажите, что если для сторон треугольника выполняется неравенство а + b > 3с, то с — наименьшая сторона этого треугольника....
В треугольнике ABC сторона АВ равна 1, а длина стороны ВС выражается целым числом. Биссектриса угла А перпендикулярна медиане, выходящей из вершины В...
В пирамиде ABCD известны рёбра: АВ = 5, ВС= 7, СА = 10, AD = 8. В вершинах пирамиды расположены центры шаров, касающихся друг друга внешним образом. Найдите рёбра BD и CD....
Окружность касается сторон угла с вершиной А. Расстояния от А до точек касания равны 5. К окружности проведена касательная, пересекающая стороны угла в точках...
Точки К, Р и М являются серединами отрезков АВ, ВС и АС. В каком отношении точка М делит отрезок КР, если АВ= 1, ВС=3, АС=4?...
Стороны пятиугольника равны (в порядке обхода) 7, 10, 12, 8 и 9. В вершинах пятиугольника расположены центры пяти окружностей, причём любые две соседние окружности...
Через точку на прямой о проведены прямые р и д. Известно, что угол между прямыми аиp равен 20°, а угол между прямыми а и q равен 80°. Чему равен угол между прямыми p и q?...
В вершинах А, В, С и D четырёхугольника A BCD находятся центры четырёх окружностей. Любые две окружности, центры которых расположены в соседних вершинах...
Через вершины А и С треугольника ABC проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла ABC, пересекающие прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите А В, если BM=8, КС...
На прямой расположены точки А, В, С и D, причём АВ = 2, CD = 3. Отрезки АС и BD являются диаметрами двух окружностей. Найдите расстояние между центрами этих окружностей....
Чему равен угол, если известно, что биссектриса смежного с ним угла образует угол 20° с одной из сторон этого угла?...
Точки А, В, С и D в указанной последовательности расположены на прямой, АВ = 2,3, ВС = 3,5, CD = 1,3. Точка М лежит на отрезке ВС, причём ВМ : МС =3:4. В каком отношении точка М де...
Дана треугольная пирамида A BCD. Найдите на ребре CD точку М такую, чтобы длина ломаной АМВ была наименьшей....
Внутри острого угла отмечена точка А. Найдите на сторонах угла точки В и С такие, чтобы периметр треугольника ABC был наименьшим....
Возьмите три произвольных отрезка. Постройте четырёхугольник ABCD, в котором углы при вершинах А и В прямые, а стороны АВ, ВС и CD равны заданным отрезкам....
На реке расположены два острова А и В. Туристы, отправившись на байдарке от острова А, хотят попасть на остров В, побывав поочерёдно на левом и правом берегах...
Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую, образующую равные хорды при пересечении с этими окружностями....
Пусть М и N — две точки, расположенные внутри угла. Каждая из них равноудалена от сторон угла. Докажите, что прямая MN проходит через вершину угла....
На плоскости имеется угол с вершиной в точке О. Пусть А и В — две точки на его сторонах. Укажите все точки отрезка АВ, равноудалённые от сторон угла....
На плоскости отмечены две точки A и В. Найдите геометрическое место точек С таких, что ABC — равнобедренный треугольник с основанием АВ....
Даны окружность и прямая. Найдите на прямой все точки, касательные из которых к окружности равны данному отрезку....
Разделите пополам данный отрезок, если есть линейка и сломанный циркуль, позволяющий изображать окружность только одного радиуса, причём этот радиус меньше половины отрезка....
Возьмите три произвольных отрезка. Постройте четырёхугольник ABCD, в котором углы при вершинах А и В прямые, а стороны DA, AB и ВС равны заданным отрезкам....
На плоскости расположены две пересекающиеся прямые. Из точки их пересечения одновременно начинают двигаться две точки, каждая по своей прямой...
Как провести прямую через две точки, если имеются циркуль и линейка, длина которой меньше расстояния между данными точками?...
А и В точки плоскости, причём АВ = 3 см. Найдите точки плоскости, находящиеся одновременно от точки А на расстоянии 3 см, а от точки В — на расстоянии 4 см....
На плоскости проведены три пересекающиеся прямые. Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от этих прямых....
Пусть А и В — точки плоскости, расстояние между которыми равно 1. Найдите геометрическое место таких точек М плоскости, для которых расстояния до А и В выражаются целыми числами....
На плоскости даны две пересекающиеся прямые р и q. Найдите геометрическое место точек М: а) равноудалённых от p и q; б) расположенных ближе к р, чем к q....
Постройте прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 см. Чему равны два острых угла (измерьте их с помощью транспортира)?...
Найдите геометрическое место центров всевозможных окружностей плоскости, проходящих через две данные точки А и В этой плоскости....
На плоскости изображена окружность радиуса 1. Найдите геометрическое место точек М плоскости, для каждой из которых расстояние до ближайшей к М точки окружности равно 1....
Пусть А и В — точки плоскости. Найдите геометрическое место точек М этой плоскости, для которых: a) AM < ВМ; б) AM > 2АВ; в) AM + MB = А В; г) AM < А В, ВМ > АВ...
Дан треугольник ABC со сторонами АВ = 5 см, ВС = 6 см, АС = 4 см. В пересечении каких геометрических мест точек лежит точка А?...
Пусть А, В и С — точки плоскости, не лежащие на одной прямой. Найдите геометрическое место точек М этой плоскости таких, что:...
Пусть a, b и с — длины сторон некоторого треугольника. Докажите, что существуют положительные числа х, у и z такие, что a = х + у, b= у + z, с = z + х....
На плоскости отмечены четыре различные точки А, В, С и D так, что АС = СВ, AD= DB. Чему равен угол между прямыми АВ и CD?...
Известно, что в треугольной пирамиде ABCD угол DAB больше угла DBA, угол DBC больше угла DC В. Какой из двух углов больше — DAC или DCA...
Постройте отрезок MN, равный 4 см. а) Покажите на рисунке геометрическое место точек, удалённых от М на расстояние 3 см....
