Познакомьтесь с документом «Поучения писцов ученикам» и ответьте, чем была привлекательна для египтян должность писца...
Прямая пересекает стороны данного угла и движется параллельно самой себе. По какой траектории движется середина отрезка этой прямой...
На прямой отмечены точки А, В и С так, что АВ = 1,22 дм и АС = 6 мм. Найдите длину отрезка ВС в сантиметрах Не забудьте рассмотреть...
Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг другу из двух пунктов A и B. После встречи одному из них...
На плоскости задан отрезок АВ. Каково на этой плоскости множество точек T, таких, что ТА : ТВ = 2 : 1 ? А в пространстве?...
Пусть один из концов отрезка фиксирован, другой перемещается по некоторой прямой. Найдите траекторию середины этого отрезка....
Дан прямой угол. В нём движется точка X так, что сумма расстояний от неё до сторон угла постоянна. Какова траектория точки X?...
В тетраэдре ABCD все углы при вершине А прямые, AB=AC=AD. Установите положение центра шара, описанного около этого тетраэдра,...
Как будет расположена плоскость относительно осей координат, если в её уравнении будет равен нулю: а) ровно один коэффициент;...
Нарисуйте в системе координат плоскость, уравнение которой: а) x + y + z = 1; б) -x - y + z = 2; в) 2х - у + 3z + 1 = 0....
Пусть А (2, 1, 0), B (0, -2, 1), С (1, 0, -2), D (1, 1, 1). а) Есть ли равные векторы среди векторов, начала...
Две плоскости заданы уравнениями. Как выяснить, будут ли они перпендикулярны? Если нет, то как найти угол между ними? А когда плоскости параллельны?...
Используя скалярное умножение векторов, докажите: а) теорему о трёх перпендикулярах; б) признак перпендикулярности...
Каковы координаты вектора АВ и его длина, если: а) А (0, 0, 0), B (2, -3, 1); б) A (-1, 1, -1), B (0, -1, 0);...
Какие координаты имеет вектор ОА, если координаты точки А: а) (1, 2, 3); б) (-5, 4,-1); в) (α, β, γ)?...
Из вершин А и D правильного тетраэдра ABCD одновременно и с одной скоростью стали двигаться по рёбрам АС и DB точки X и Y. Докажите,...
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что на диагонали B1D лежат середины других диагоналей параллелепипеда...
Какие координаты имеет единичный вектор (вектор, длина которого равна 1), если он образует: а) с осью х угол 60°, а с осью...
Объясните, почему совместное выполнение двух условий х = а и у = Ь задаёт в пространственной системе координат прямую...
В основании пирамиды PABCD — прямоугольник, периметр которого равен 12, (РВ) ⊥ (АВС), угол между гранями PAD и ABCD равен 45°...
Какую фигуру образуют концы равных векторов, отложенные от всех точек отрезка? А если вместо отрезка взять плоскую фигуру, что получится?...
Пусть α — координатная плоскость хОу, а β — координатная плоскость xOz. Какую фигуру в пространстве образуют все...
Напишите уравнения плоскостей, перпендикулярных осям координат и проходящих через точки: а) (0, 1, 0); б) (1, 1, 0); в) (1, 1, 1)....
Пусть А и В — две точки пространства. Методом координат докажите, что все точки пространства, равноудалённые от А и В, образуют плоскость....
Докажите теорему о сечении сферы плоскостью выбрав начало координат в центре сферы, а одну из осей координат направив...
Напишите уравнение сферы: а) с центром в начале координат и радиусом 1; б) с центром в точке (-1, -1, 1) и радиусом 1;...
Нарисуйте систему координат. Какие координаты равны нулю у точки, лежащей: а) в плоскости ху; б) в плоскости yz;...
В системе координат нарисуйте плоскость, перпендикулярную оси х и проходящую через точку (1, 0, 0). Возьмите любую точку плоскости...
Даны точки А (5, -1, 3), В (1, 2, -6), С (-3, 3, 2). Какая из них ближе к началу координат; к плоскости yz; к оси х; к другим координатным плоскостям и осям?...
В четырёхугольной пирамиде PABCD в основании квадрат, РВ — высота, РС + РВ = 8. Найдите длину РВ, при которой объём пирамиды...
Напишите уравнение плоскости: а) удалённой на 2 от плоскости ху; б) удалённой на 1 от плоскости х = 3;...
Точки А (1, 0, 0) и В (-1, 0, 0) являются вершинами правильного тетраэдра, основание которого лежит в плоскости ху. Вычислите координаты двух других его вершин....
Вычислите расстояние АВ, если: а) А (0, 0, 1), В ( 1, 1, 0); б) А (-2, 3, -4), В (2,-3, 4); в) А (а, b, с), В (b, с, а)....
Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2. Пусть точка К — середина AD, точка L — середина C1D1, точка М — центр грани ABB1A1....
Укажите положение точки в системе координат, если у неё: а) х = 0; б) х = у = 0; в) у = 0, х ≠ 0, z ≠ 0;...
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD с периметром 18. Угол между плоскостями ABC и ABC1...
Найдите наибольший объём правильной треугольной пирамиды, апофема которой равна 2√3. б) Апофема правильной...
Основание пирамиды РАВС — равнобедренный прямоугольный треугольник, ∠A = 90°, (РА) ⊥ (ABC), |АВ| + |АС| + |АР| = 12. При каких...
Нарисуйте систему координат и точку А (0, -1, 1). Составьте задачи, аналогичные задаче 29.2, для этой точки. Попытайтесь составить...
Нарисуйте систему координат и точки A(1, 1, 0), B(1, 1, 3), C(1, 1, —2). а) Каковы координаты проекций точки B...
Высота прямоугольного параллелепипеда равна 0,5, а площадь основания 9. Найдите наименьшую площадь боковой поверхности...
В основании пирамиды PABCD — прямоугольник, высота пирамиды — РВ. Найдите наибольший объём пирамиды, если её...
Основание пирамиды PABCD — ромб с острым углом 30° в вершине А, PD — высота пирамиды, DA + DC + DP = 48. При каких длинах...
В основании пирамиды РАВС лежит треугольник ABC, в котором ∠ACB-30°, |АС| : |СВ| = 1 : 2, PC — высота пирамиды. Известно,...
Как вычислить площадь поверхности тела вращения, полученного вращением: равностороннего треугольника вокруг:...
Из шара радиуса R вырезают цилиндр наибольшего объёма. Чему равен этот объём? Решите такую же, как в 1)...
В пирамиде РАВС ∠BAC = 90°, (PB) ⊥ (ABC), |АВ| + |РВ| = 9, |АС|= 2 |ВР|. Найдите расстояние от Р до (АС) в пирамиде, имеющей наибольший объём....
Из данного конуса радиуса 1 и высоты 1 вырезают конус наибольшего объёма. Вершина этого конуса находится в центре основания данного,...
РАВС — треугольная пирамида, (РА) ⊥ (ABC), ∠ACB = 90°, |АС| + |СВ| = 18. Угол между плоскостями РВС и ABC равен 30°. Какой наибольший...
Даны радиусы оснований г и Я усечённого конуса и его образующая L. Найдите площадь его боковой поверхности....
Из конуса радиуса R и высоты Н вырезают цилиндр наибольшего объёма. Его основание лежит на основании конуса. Чему равен объём...
В прямоугольном параллелепипеде периметр основания равен 6. Найдите наибольший объём параллелепипеда, если его высота...
В конусе периметр осевого сечения равен 20. Каков должен быть радиус основания конуса, чтобы объём конуса был наибольшим?...
Найдите наибольший объём правильной четырёхугольной призмы, у которой периметр диагонального сечения равен 6...
В правильной треугольной призме расстояние от центра нижнего основания до вершины верхнего основания равно √3. Какова должна...
Прикладная геометрия! Лампа имеет абажур в виде боковой поверхности усечённого конуса. Как узнать, сколько материала пошло на абажур?...
Найдите площадь поверхности конуса, вписанного в шар радиуса 2, если его основание удалено от центра шара на 1....
Объём конуса равен 36л. Какой угол образует с плоскостью основания образующая его поверхности, когда площадь боковой поверхности наименьшая?...
Периметр осевого сечения конуса равен 2. Определите, в каких границах лежит площадь его боковой поверхности....
Пусть радиус шара равен 1. Чему равна площадь поверхности части шара, которая получилась после проведения в нём:...
Образующая конуса равна 1. В каких границах находится площадь его: а) боковой поверхности; б) поверхности?...
Определите, каким числом может быть отношение площади основания конуса и площади его боковой поверхности....
Запишите формулу для площади боковой поверхности конуса S6. Выразите из неё R, L. б) Известна площадь боковой...
Чему равна площадь поверхности конуса, у которого: а) осевое сечение — равносторонний треугольник со стороной 2;...
Объём цилиндра равен 16π. Каковы размеры его осевого сечения, когда площадь его поверхности наименьшая?...
Из шара площадью поверхности 1 см2 сделали какое-то число одинаковых шариков. Может ли суммарная площадь их...
Площадь поверхности цилиндра равна 54π. Какова форма его осевого сечения, когда его объём наибольший?...
Радиус основания цилиндра растёт, а образующая постоянна. Докажите, что: а) скорость роста площади боковой...
Запишите формулу для площади боковой поверхности цилиндра. Выразите из неё R, Н. б) Пусть известна площадь боковой...
Пусть радиус сферы увеличивается, а) Докажите, что скорость изменения площади сферы пропорциональна радиусу,...
Окрашены два шара. Радиус одного в два раза больше радиуса другого. Во сколько раз больше ушло на него краски?...
Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен 4. При каком угле φ между боковой гранью и основанием площадь её боковой...
Выразите объём шара через площадь его поверхности, б) Запишите обратную зависимость, в) Пусть объём шара начал расти....
Вычислите радиус сферы, вписанной в: а) правильный тетраэдр с ребром 2; б) правильную четырёхугольную пирамиду...
В призме АВСА1В1С1 основание ABC — правильный треугольник со стороной 1, а боковое ребро равно 2. Вычислите площадь...
Объём правильной треугольной пирамиды равен 4√3. Какой угол φ составляет боковая грань с основанием, когда площадь...
Как вычислить площадь боковой поверхности правильной треугольной (четырёхугольной) усечённой пирамиды, у которой...
Деревянный брус имел вид прямой треугольной призмы. Сделали два поперечных и параллельных между собой его распила, и получилась...
